Les groupes d'homotopie généralisent la notion de
Groupe fondamental aux dimensions supérieures.
Définition mathématique
Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. La première définition :
Soit X un Espace topologique et x 0 un point de X. Soit B i la boule unité de dimension i de l'espace euclidien R i . Son Bord ∂ B i = S i - 1 est la sphère unité de dimension i-1.
Le i-ième groupe d'homotopie supérieur π i (X,x 0 ) est l'ensemble des classes d'homotopie relative à S i - 1 d'applications continues f : B i → X telle que : f (S i - 1 ) = {x 0 } .
Un élément de π i (X,x 0 ) est donc représenté par une une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la (i-1)-sphère vers le point de référence x 0 ∈ X, la fonction étant définie modulo homotopie relative à S i - 1 .
La deuxième définition :
En identifiant le Bord du disque en un point s 0 , on obtient une Sphère S i et chaque élément de π i (X,x 0 ) se définit par les classes d'homotopie des applications S i → X par lesquelles le point base de la sphère s 0 se transforme en x 0 . On peut dire que les éléments du groupe π i (X,x 0 ) sont les composantes connexes de l'Espace topologique des applications S i → X pour lesquelles on a : s 0 ↦ x 0 .
Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie
Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier le disque
D i avec le
Cube I i = i de
Dimension i dans
R i .
La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube f,g : (I i ,S i - 1 ) → (M,x 0 ) est l'application f+g : (I i ,S i - 1 ) → (M,x 0 ) définie par la formule :
(f + g)(t 1 , t 2 , …, t i ) = f (2t 1 , t 2 , …, t n ) pour
et
(f + g)(t 1 , t 2 , …, t n ) = g (2t 1 -1, t 2 , …, t n ) pour .
Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la Loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un Inverse et la loi est commutative si i 2.
On définit donc un groupe commutatif si i 2.
On obtient le Groupe fondamental si i = 1
Propriétés et outils
Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration et fonctorialité
Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple
Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !Homologie et homotopie : le théorème de Hurewicz
Pour un espace topologique
X, on a deux familles de groupes associés à
X : Les groupes d'homotopie (relatifs) notés
π i (X,A,x 0 ) et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés
H i (X,A). Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le liens entre ces deux familles de groupes.
On a un Morphisme de groupes naturel h n : π n (X,A,*) → H n (X,A).
Si A ⊂ X sont connexes par arcs et si le couple (X,A) est n-1-connexe, n ≥ 2,
le théorème de Hurewicz relatif affirme que H i (X,A) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments ω( β)- β avec ω ∈ π 1 (A,*) et β ∈ π n (X,A,*) = 1. En particulier, si π 1 (A,*) = 1, alors h n est un isomorphisme.
Le théorème de Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, n ≥ 2, on a H i (X,*) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un ismorphisme. Pour n=1, voir Théorème d'Hurewicz Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! === Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires) === * Voir CW-complexes Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! === Théorèmes de périodicité de Bott === Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! == Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction == Un espace est dit asphérique ou un K ( π,1) si les groupes d'homotopies sont triviaux sauf le π 1
Méthodes de calcul
Contrairement au
Groupe fondamental (i=1) et aux groupes d'
Homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que
i 2 (Il manque un analogue des théorèmes d'
Excision et de Van-Kampen).
Groupes d'homotopie des sphères
- Article détaillé : .
Cas des groupes de Lie
Le groupe fondamental est commutatif. L'action du
π 1 sur les
π i est triviale.
Bibliographie en français
- Doubrovine, Novikov, Fomenko : Géométrie contemporaine, tomes 2 et 3, ed. Mir (Moscou)
- Jean Dieudonné : Eléments d'analyse, tome 9, ed. Jacques Gabais